Алгебра и начала анализа 10 класс УМК: А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 1. Учебник; А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 2. задачник; А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Методическое пособие для учителя. Уровень обучения: базовый Тема урока: Повторение. Тригонометрические функции и их свойства Общее количество часов, отводимое на итоговое обобщающее повторение 12часов. На обобщение и повторение данной темы «Тригонометрические функции и их свойства» отводится 3 часа. Урок № 1 Цели: Образовательные: обобщить и систематизировать знания обучающихся по изученной теме, провести контроль уровня усвоения материала; Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий; Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности. Задачи: Обобщить представление о числовой окружности, о числовой окружности на координатной плоскости. Отрабатывать умения находить значение синуса, косинуса на числовой окружности. Отрабатывать навыки и умения построения графиков функций, . Развивать творческие способности в построении графиков функций и, зная. В результате изучения данной темы: У учащихся формируются ключевые компетенции - способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем – умением мотивировано отказываться от образца, искать оригинальные решения Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания по теме: умение построения графиков тригонометрических функций и описания их свойств. Умеют, развернуто обосновывать суждения. Могут критически оценить информацию адекватно поставленной цели. Учащиеся могут свободно пользоваться свойствами функций и строить графики сложных функций. Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют проводить самооценку собственных действий. Умеют самостоятельно выбрать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов. Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы. Тип урока: урок-тренинг Ход урока. I. Организационный момент. II. Сообщение темы и целей урока Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по теме «Тригонометрические функции и их свойства». А всякое знание должно перейти в умение и навык. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать. Мы сегодня вспомним, как определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; строить графики изученных функций; описывать по графику и в простейших случаях по формуле поведение и свойства функций, находить по графику функции наибольшие и наименьшие значения. III. Актуализация опорных знаний. Работа по карточкам Вариант №1 Вариант №2 1. Постройте график функции; 2. Укажите область значений данной функции; 3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на интервале 1. Постройте график функции; 2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции; 3. Определите нули функции. Проверяем и сравниваем функции. Какие свойства тригонометрических функций вы использовали при решении заданий? 1 вариант: y=sinx, обратите внимание на слайд. Область определения Точки пересечения с осями координат Четность и нечетность Промежутки монотонности Экстремумы Периодичность Промежутки знакопостоянства Множество значений 2 вариант:y=cos x, внимание на слайд. Область определения Точки пересечения с осями координат Четность и нечетность Промежутки монотонности Экстремумы Периодичность Промежутки знакопостоянства Множество значений IV. Практикум по решению задач 1. В одной системе координат построить графики функций одной группы и описать их свойства: 1) , . 2) , . Обобщить преобразования графиков функций сдвигом по оси. В одной системе координат построить графики функций одной группы и описать их свойства: 1) , . 2) , . 2. Докажите, что число является периодом функции. 3. Докажите, что число является периодом функции. 4. Найдите наименьший положительный период функции 5. Найдите наименьший положительный период функции 6. Переведите из градусной меры в радианную и расположите в порядке возрастания: , . 7. Переведите из радианной меры в градусную и расположите в порядке убывания: , . V. Итог урока VI. Повторить свойства тангенса и котангенса.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Алгебра и начала анализа
10 класс
УМК: А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 1. Учебник;
А.Г. Мордкович Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы в 2 ч. Ч. 2. задачник;
А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Алгебра и начала математического анализа 10-11 классы. Методическое пособие для учителя.
Уровень обучения: базовый
Тема урока: Повторение. Тригонометрические функции и их свойства
Общее количество часов, отводимое на итоговое обобщающее повторение 12часов. На обобщение и повторение данной темы «Тригонометрические функции и их свойства» отводится 3 часа.
Урок № 3
Цели:
Образовательные: обобщить и систематизировать знания обучающихся по изученной теме, провести контроль уровня усвоения материала;
Развивающие: развитие математического мышления, интеллектуальных и познавательных способностей, развитие умения обосновать свое решение, контролировать и оценивать результаты своих действий;
Воспитательные: воспитание культуры общения, познавательной активности, чувства ответственности за выполненную работу, дисциплинированности, аккуратности, самостоятельности.
В результате изучения данной темы:
У учащихся формируются ключевые компетенции - способность самостоятельно действовать в ситуации неопределённости при решении актуальных для них проблем – умением мотивировано отказываться от образца, искать оригинальные решения
Учащихся демонстрируют теоретические и практические знания по теме: умение построения графиков тригонометрических функций и описания их свойств. Умеют, развернуто обосновывать суждения. Могут критически оценить информацию адекватно поставленной цели.
Учащиеся могут свободно пользоваться свойствами функций и строить графики сложных функций. Умеют передавать, информацию сжато, полно, выборочно. Умеют проводить самооценку собственных действий. Умеют самостоятельно выбрать критерии для сравнения, сопоставления, оценки и классификации объектов.
Оборудование и материалы для урока: мультипроектор, презентация для сопровождения урока, листы самоконтроля, карточки с текстом самостоятельной работы.
Тип урока: урок-смотр знаний
Ход урока.
I. Организационный момент.
II. Сообщение темы и целей урока .
Сильнее всех – владеющий собой.
Сенека
Мы живем в реальном мире и для его познания нам необходимы знания. Но прежде, чем подняться на следующую ступеньку, нужно убедиться, что мы крепко стоим на ногах, имеем хорошие, прочные знания по изучаемой теме.
Сегодня на уроке мы обобщим и систематизируем имеющиеся знания по теме «Тригонометрические функции и их свойства».
А всякое знание должно перейти в умение и навык. Проверим свои знания, умения и навыки, выясним пробелы и попытаемся их ликвидировать.
- Актуализация опорных знаний.
1. Фронтальный опрос.
Назовите тригонометрические функции, которые вы знаете?
А теперь повторим свойства известных нам тригонометрических функций.
(Обучающие называют свойства тригонометрических функций, каждый правильный ответ высвечивается на слайде. В результате обсуждения появляется таблица.) (Слайд 4-7)
2. Устная работа по решению простейших задач на преобразование графиков тригонометрических функций. (Слайд 8-10)
- Работа с листами самоконтроля . (Приложение 1,слайд 11)
На уроке вы будете выполнять различные задания, и постепенно будете заполнять лист самоконтроля учащегося. Подпишите лист самоконтроля и познакомьтесь с его содержанием. Оцените насколько вы готовы к выполнению заданий и поставьте прогностическую оценку. И пока лист отложите.
- Графический диктант.
Результатом выполнения диктанта на листках самоконтроля обучающихся станет такая запись.
где знаками обозначено: + да, нет. После окончания диктанта обучающие обмениваются диктантом с соседом по парте для проверки. Каждый верный ответ оценивается в 1 балл, за неверный ответ и отсутствие ответа выставляется 0 баллов. Слайд 12
- Самостоятельная работа по вариантам . (Приложение 2)
I вариант.
у= 4 х.
- Определите знак числа sin1 cos9 tg(-2)
- нет точек пересечения
- Найдите наименьший положительный период функции
у=2+
II вариант.
- Укажите множество значений функции:
На этом уроке мы рассмотрим основные тригонометрические функции, их свойства и графики , а также перечислим основные типы тригонометрических уравнений и систем . Кроме этого, укажем общие решения простейших тригонометрических уравнений и их частные случаи .
Данный урок поможет Вам подготовиться к одному из типов задания В5 и С1 .
Подготовка к ЕГЭ по математике
Эксперимент
Урок 10. Тригонометрические функции. Тригонометрические уравнения и их системы.
Теория
Конспект урока
Тригонометрические функции и их свойства
Мы с вами уже многократно применяли термин «тригонометрическая функция». Еще на первом уроке этой темы мы определили их с помощью прямоугольного треугольника и единичной тригонометрической окружности. Используя такие способы задания тригонометрических функций, мы уже можем сделать вывод, что для них одному значению аргумента (или угла) соответствует строго одно значение функции, т. е. мы вправе называть синус, косинус, тангенс и котангенс именно функциями.
На этом уроке самое время попробовать абстрагироваться от рассмотренных ранее способов вычисления значений тригонометрических функций. Сегодня мы перейдем к привычному алгебраическому подходу работы с функциями, мы рассмотрим их свойства и изобразим графики.
Что касается свойств тригонометрических функций, то особое внимание следует обратить на:
Область определения и область значений, т. к. для синуса и косинуса есть ограничения по области значений, а для тангенса и котангенса ограничения по области определения;
Периодичность всех тригонометрических функций, т. к. мы уже отмечали наличие наименьшего ненулевого аргумента, добавление которого не меняет значение функции. Такой аргумент называют периодом функции и обозначают буквой . Для синуса/косинуса и тангенса/котангенса эти периоды различны.
Функция синус и ее график
Рассмотрим функцию:
1) Область определения ;
2) Область значений 
;
3) Функция нечетная 
;
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Кроме того, для построения полезно помнить значения синусов нескольких основных табличных углов, например, что . Это позволит построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция косинус и ее график
Теперь рассмотрим функцию:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения ;
2) Область значений ;
3) Функция четная 
Из этого следует симметричность графика функции относительно оси ординат;
4) Функция не является монотонной на всей своей области определения;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . Как и при построении синуса удобно начинать с изображения области, которая ограничивает график сверху числом 1 и снизу числом , что связано с областью значений функции. Также нанесем на график координаты нескольких точек, для чего необходимо помнить значения косинусов нескольких основных табличных углов, например, что . С помощью этих точек мы можем построить первую полную «волну» графика и потом перерисовывать ее вправо и влево, пользуясь тем, что картинка будет повторяться со смещением на период, т. е. на .
Функция тангенс и ее график
Перейдем к функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . Мы уже указывали в предыдущих уроках, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период тангенса;
2) Область значений , т. е. значения тангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно возрастает в пределах своих так называемых веток тангенса, которые мы сейчас увидим на рисунке;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки тангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. При этом не забываем, что каждая ветка монотонно возрастает. Все ветки изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный . Это видно по тому, что каждая ветка получается смещением соседней на вдоль оси абсцисс.
Функция котангенс и ее график
И завершаем рассмотрением функции:
Основные свойства этой функции:
1) Область определения кроме , где . По таблице значений тригонометрических функций мы уже знаем, что не существует. Это утверждение можно обобщить, учитывая период котангенса;
2) Область значений , т. е. значения котангенса не ограничены;
3) Функция нечетная 
;
4) Функция монотонно убывает в пределах своих веток, которые похожи на ветки тангенса;
5) Функция периодична с периодом .
Построим график функции . При этом, как и для тангенса, удобно начинать построение с изображения вертикальных асимптот графика в точках, которые не входят в область определения, т. е. и т. д. Далее изображаем ветки котангенса внутри каждой из образованных асимптотами полосок, прижимая их к левой асимптоте и к правой. В этом случае учитываем, что каждая ветка монотонно убывает. Все ветки аналогично тангенсу изображаем одинаково, т. к. функция имеет период, равный .
Вычисление периодов тригонометрических функций со сложным аргументом
Отдельно следует отметить тот факт, что у тригонометрических функций со сложным аргументом может быть нестандартный период. Речь идет о функциях вида:
У них период равен . И о функциях:
У них период равен .
Как видим, для вычисления нового периода стандартный период просто делится на множитель при аргументе. От остальных видоизменений функции он не зависит.
Подробнее разобраться и понять, откуда берутся эти формулы, вы сможете в уроке про построение и преобразование графиков функций.
Тригонометрические уравнения и методы их решения
Мы подошли к одной из самых главных частей темы «Тригонометрия», которую мы посвятим решению тригонометрических уравнений. Умение решать такие уравнения важно, например, при описании колебательных процессов в физике. Представим, что вы на спортивной машине проехали несколько кругов на картинге, определить сколько времени вы уже участвуете в гонке в зависимости от положения машины на трассе поможет решение тригонометрического уравнения.
Запишем простейшее тригонометрическое уравнение:
Решением такого уравнения являются аргументы, синус которых равен . Но мы уже знаем, что из-за периодичности синуса таких аргументов существует бесконечное множество. Таким образом, решением этого уравнения будут и т. п. То же самое относится и к решению любого другого простейшего тригонометрического уравнения, их будет бесконечное количество.
Тригонометрические уравнения делятся на несколько основных типов. Отдельно следует остановиться на простейших, т. к. все остальные к ним сводятся. Таких уравнений четыре (по количеству основных тригонометрических функций). Для них известны общие решения, их необходимо запомнить.
Простейшие тригонометрические уравнения и их общие решения выглядят следующим образом:
Обратите внимание, что на значения синуса и косинуса необходимо учитывать известные нам ограничения. Если, например, , то уравнение не имеет решений и применять указанную формулу не следует.
Кроме того, указанные формулы корней содержат параметр в виде произвольного целого числа . В школьной программе это единственный случай, когда решение уравнения без параметра содержит в себе параметр. Это произвольное целое число показывает, что можно выписать бесконечное количество корней любого из указанных уравнений просто подставляя вместо по очереди все целые числа.
Ознакомиться с подробным получением указанных формул вы можете, повторив главу «Тригонометрические уравнения» в программе алгебры 10 класса.
Отдельно необходимо обратить внимание на решение частных случаев простейших уравнений с синусом и косинусом. Эти уравнения имеют вид:
К ним не следует применять формулы нахождения общих решений. Такие уравнения удобнее всего решаются с использованием тригонометрической окружности, что дает более простой результат, чем формулы общих решений.
Например, решением уравнения является 
. Попробуйте сами получить этот ответ и решить остальные указанные уравнения.
Кроме указанного наиболее часто встречающегося типа тригонометрических уравнений существуют еще несколько стандартных. Перечислим их с учетом тех, которые мы уже указали:
1) Простейшие , например, ;
2) Частные случаи простейших уравнений , например, ;
3) Уравнения со сложным аргументом
, например, 
;
4) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем вынесения общего множителя , например, ;
5) Уравнения, сводящиеся к простейшим путем преобразования тригонометрических функций , например, ;
6) Уравнения, сводящиеся к простейшим с помощью замены , например, ;
7) Однородные уравнения , например, ;
8) Уравнения, которые решаются с использованием свойств функций
, например, 
. Пусть вас не пугает, что в этом уравнении две переменные, оно при этом решается;
А также уравнения, которые решаются с использованием различных методов.
Системы тригонометрических уравнений и методы их решения
Кроме решения тригонометрических уравнений необходимо уметь решать и их системы.
Наиболее часто встречаются системы следующих типов:
1) В которых одно из уравнений степенное
, например, 
;
2) Системы из простейших тригонометрических уравнений
, например, 
.
На сегодняшнем уроке мы рассмотрели основные тригонометрические функции, их свойства и графики. А также познакомились с общими формулами решения простейших тригонометрических уравнений, указали основные типы таких уравнений и их систем.
В практической части урока мы разберем методы решения тригонометрических уравнений и их систем.
Вставка 1. Решение частных случаев простейших тригонометрических уравнений .
Как мы уже говорили в основной части урока частные случаи тригонометрических уравнений с синусом и косинусом вида:
имеют более простые решения, чем дают формулы общих решений.
Для этого используется тригонометрическая окружность. Разберем метод их решения на примере уравнения .
Изобразим на тригонометрической окружности точку, в которой значение косинуса равно нулю, оно же является координатой по оси абсцисс. Как видим, таких точек две. Наша задача указать чему равен угол, который соответствует этим точкам на окружности.
 |
Начинаем отсчет от положительного направления оси абсцисс (оси косинусов) и при откладывании угла попадаем в первую изображенную точку, т. е. одним из решений будет это значение угла. Но нас же еще устраивает угол, который соответствует второй точке. Как попасть в нее?
Для этого необходимо к уже отложенному углу добавить развернутый угол . Второй угол, который является решением уравнения, равен . Но нельзя забывать, что это еще не все, т. к. мы можем построить угол больший полного круга, и он еще раз попадет в первую точку и также будет решением нашего уравнения. Для этого необходимо прибавить ко второму вычисленному углу еще раз , и получим значение . Продолжать эти действия можно бесконечное количество раз.
Если выписать первые три полученных нами корня уравнения, то можно увидеть закономерность:
, , , …и выписать формулу для всех корней:
Как видим, эта формула действительно выглядит проще общего решения уравнения с косинусом, хотя бы потому, что в ней отсутствует «». Однако это не значит, что общая формула даст неверное решение.
Аналогично можно получить решения для всех остальных указанных частных случаев тригонометрических уравнений.
1) Алгебра 9 класс: "Функция y=sinx, её свойства и график"
2) Алгебра 9 класс: "Функция y=cosx. Её свойства и график"
3) Алгебра 9 класс: "Функция y=cos t, её свойства и график"
4) Алгебра 9 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения и сопутствующие задачи"
5) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=sinx"
6) Алгебра 9 класс: "Элементы теории тригонометрических функций. Функция y=cosx"
7) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, ее основные свойства и график"
8) Алгебра 10 класс: "Функция y=sinx, её свойства, график и типовые задачи"
9) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её основные свойства и график"
10) Алгебра 10 класс: "Функция y=cos t, её свойства, график и типовые задачи"
11) Алгебра 10 класс: "Периодичность функций y=sin t, y=cos t"
12) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=mf(x), если известен график функции y=f(x)"
13) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x)"
14) Алгебра 10 класс: "Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения"
15) Алгебра 10 класс: "График гармонического колебания"
16) Алгебра 10 класс: "Функция y=tgx, ее свойства и график"
17) Алгебра 10 класс: "Функция y=сtgx, ее свойства и график"
18) Алгебра 10 класс: "Первые представления о решении тригонометрических уравнений"
19) Алгебра 10 класс: "Простейшие тригонометрические уравнения"
Класс: 10
Цель урока:
- Образовательные:
- отработать навыки построения графиков функций, используя периодичность тригонометрических функций;
- закрепить изученный материал о чётных и нечётных функциях
- Развивающие:
- развивать умения, анализировать, применять имеющиеся знания у учащихся в изменённой ситуации.
- Воспитательные:
- воспитывать у учащихся аккуратность, любознательность, бережное отношение к окружающему миру, нравственные качества;
- создать условия для развития познавательной активности учащихся, реализации личностных функций каждого учащегося, его свободного развития с учётом индивидуальных особенностей и потенциальных возможностей.
Оборудование:
- мультимедийный проектор;
- листы заданий для учащихся;
- оценочные листы;
- доска;
- мел, чертёжные инструменты;
- тетради;
- заготовки системы координат
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
Учащиеся при входе в класс на урок выбирают жетоны, в которых записаны тригонометрические функции синус, косинус, тангенс. Затем рассаживаются за круглые столы по группам с жетонами одной функции.
Озвучиваются цели урока. В течении всего урока
учащиеся самостоятельно оценивают свою
подготовку к уроку. Для этого каждой группе
раздаются оценочные листы, критерии оценки
своей деятельности на каждом этапе урока
отражаются на слайдах (Приложение
1
).
Оценочные листы заполняются учащимися и в конце
урока сдаются вместе с письменной работой на
проверку.
Оценочный лист
| № | Ф. И | Теоретическая разминка, «математическое лото» | Групповая работа | Тест | Оценка за урок |
| 1 | |||||
| 2 | |||||
| 3 | |||||
| 4 | |||||
| 5 |
II. Фронтальный опрос «Теоретическая разминка»
Для того, чтобы выполнить практические задания урока, необходимо вспомнить теоретический материал. Для этого проведём «Теоретическую разминку" на слайде (Приложение 1 ) дана таблица с номерами вопросов, по очереди каждая группа выбирает номер вопроса, зачитывает вопрос и тут же даёт на него ответ.
На этом этапе происходит актуализация знаний учащихся, необходимых для дальнейшей работы на уроке.
- Что называют функцией?
- Что называют областью определения функции?
- Что называют областью значений функции?
- Какая функция называется чётной?
- Какая функция называется нечётной?
- Каким свойством обладает график четной функции?
- Каким свойством обладает график нечётной функции?
- Дайте определение основных тригонометрических функций.
- Что можно сказать о чётности тригонометрических функций?
- Какая функция называется периодической?
- Какое число является наименьшим положительным периодом для функции синуса и косинуса?
- Какое число является наименьшим положительным периодом для функции тангенса (котангенса)?
- Какова область определения функции синуса?
- Какова область определения функции косинуса?
- Какова область определения функции тангенса?
- Какова область определения функции котангенса?
- Какова область значений функции синуса?
- Какова область значений функции конуса?
- Какова область значений функции тангенса?
- Какова область значений функции котангенса?
- Какая из функций принимает наибольшее значение у = sin 2x или y = 2 sin x&
– Мы повторили с вами теоретический материал. А теперь я предлагаю вам показать ваши знания в определении четной или нечетной функции, при выполнения «математического лото». Каждая группа получает лист – задание с «математическим лото». (Приложение 2 ).
Задание: в полученной таблице заштриховать те ячейки, в которых расположена чётная (нечётная) функция.
«Математическое лото»
Вариант 1.
Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается чётная функция
Вариант 2.
Задание: Заштриховать в таблице те ячейки, в которых располагается нечётная функция
Критерии оценки при фронтальном опросе, участие в совместной работе класса:
- 2 балла, не активно принимал участие;
- 3 балла, отвечал на вопросы, вносил свои предложения при выполнении задания «математического лото»
- 4 балла, активно отвечал на вопросы, предлагал верные ответы при решении «математического лото»
III. Работа в группах по построению графиков тригонометрических функций
Работая в группе сообща над заданием, ученик соотносит своё «Я» с самим собой и окружающими, сравнивая разное или одинаковое видение задачи и процесса её решения, оценивая свои возможности и притязания. Ученикам приходится выступать в разных ролях и в роли «ученика» и в роли «учителя». Здесь формируется умение работать в группе, умение отстаивать свою точку зрения и принимать точку зрения товарищей.
Каждой группе предлагается самостоятельно в тетрадях построить графики тригонометрических функций, предварительно определив её область определения, область значения, период. Каждая группа получает также заготовки системы координат на листе формата А4 или А3 на которых им необходимо изобразить выполненное задание (можно при построение графиков использовать фломастеры разного цвета)
После выполнения своего задания каждая
группа защищает свою работу перед классом.
Работа каждого в группе оценивается всей
группой, оценка заносится в оценочный лист.
Критерии оценки работы в группе:
- 3 балла, не активно принимал участие в работе;
- 4 балла, вносил свои предложения в решении поставленной задачи;
- 5 баллов, активно принимал участие в работе группы, предлагал верные пути решения задачи.
IV. Тестовая работа
Прежде, чем ученики приступят к выполнению
теста, они должны выбрать уровень сложности
соответствующий своим возможностям.
На этом этапе работы для учащихся создаётся
ситуация, в которой им надо оценить свои
реальные знания и возможности.
1) Если ученик считает, что он усвоил материал на
«3», то ему достаточно выполнить 1 – 5 задания
теста.
2) Если усвоил материал на «4» , то надо выполнить
6 – 7 задания теста.
3) Если материал усвоен на «5», то надо выполнить
все задания теста.
Ключ к тесту:
| № задания | I вариант | II вариант |
| А1 | В | В |
| А2 | Б | Г |
| А3 | В | Б |
| А4 | Г | Г |
| А5 | А | Г |
| А6 | А | В |
| А7 | Б | А |
| В1 | – 7 | – 6 |
| В2 | 5 | – 4 |
Тетради и оценочные листы сдаются учителю.
V. Итог урока
Оценки в журнал выставляются после проверки работ учителем, сравнивая с результатами оценочных листов учёта знаний.
VI. Домашнее задание
I группа: стр.93 № 18
II группа: стр.93 № 19
III группа: стр.93 № 20
Уроки 25-26. Функции у = tg x, у = ctg x, их свойства и графики
09.07.2015 7626 0Цель: рассмотреть графики и свойства функций у = tg х, у = ctg х.
I. Сообщение темы и цели уроков
II. Повторение и закрепление пройденного материала
1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
2. Контроль усвоения материала (письменный опрос).
Вариант I
2. Постройте график функции:
Вариант 2
1. Как построить график функции:
2. Постройте график функции:
III. Изучение нового материала
Рассмотрим две оставшиеся тригонометрические функции - тангенс и котангенс.
1. Функция у = tg x
Остановимся на графиках функций тангенса и котангенса. Сначала обсудим построение графика функции у = tg х на промежутке Такое построение аналогично построению графика функции у = sin х, описанному ранее. При этом значение функции тангенса в точке находится с помощью линии тангенсов (см. рисунок).
Учитывая периодичность функции тангенса, получаем ее график на всей области определения параллельными переносами вдоль оси абсцисс (вправо и влево) уже построенного графика на π, 2π и т. д. График функции тангенса называют тангенсоидой.
Приведем основные свойства функции у = tg х:
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида
y (x
3. Функция возрастает на промежутках вида
где к
∈
Z
.
4. Функция не ограничена.
6. Функция непрерывная.
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = π, т. е. у(х + п k ) = у(х).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты
Пример 1
Установим четность или нечетность функции:
Легко проверить, что для функций а, б область определения - симметричное множество. Исследуем эти функции на четность или нечетность. Для этого найдем у(-х) и сравним значения у(х) и y (- x ).
а) Получим: Так как выполнено равенство y (- x ) = у(х), то функция у(х) по определению четная.
б) Имеем:
Так как выполнено равенство y (- x ) = -у(х), то функция у(х) по определению нечетная.
в) Область определения данной функции - несимметричное множество. Например, функция определена в точке х = π/4 и не определена в симметричной точке х = -π/4. Поэтому данная функция определенной четности не имеет.
Пример 2
Найдем основной период функции
Данная функция у(х) представляет собой алгебраическую сумму трех тригонометрических функций, периоды которых равны:
T
1
= 2π,
Запишем эти числа в виде дробей с одинаковыми знаменателями
Наименьшее общее кратное коэффициентов НОК (6; 2; 3). Поэтому основной период данной функции
Пример 3
Построим график функции
Учтем правила преобразования графиков функции. В соответствии с ними график функции
получается смещением графика функции у =
tg
х на π/4 единиц вправо вдоль оси абсцисс и его растяжением в 2 раза вдоль оси ординат.
Пример 4
Построим график функции
Используя определение и свойства модуля, в аргументе функции раскроем знаки модуля, рассмотрев три случая. Если х < 0, то имеем:
При 0 ≤
x
≤
π
/4 имеем:
Для х >
π
/4 имеем:
Далее остается построить три части данного графика. При х < 0 строим прямую у = -1. Для 0 ≤
x
≤
π
/4 строим тангенсоиду
Этот график получается смещением графика функции у =
tg
х на π/8 вправо вдоль оси абсцисс и сжатием в два раза вдоль этой оси. При х > π
/4
строим прямую у = 1.
2. Функция у = ctg x
Аналогично графику функции у =
tg
х или с помощью формулы приведения
строится график функции у =
ctg
x
.
Перечислим основные свойства функции у = ctg x :
1. Область определения - множество всех действительных чисел, за исключением чисел вида х = п k , к ∈ Z .
2. Функция нечетная (т. е. у(-х) = - y (x )), и ее график симметричен относительно начала координат.
3. Функция убывает на промежутках вида (п k ; п + п k ), к ∈ Z .
4. Функция не ограничена.
5. Функция не имеет наименьшего и наибольшего значений.
6. Функция непрерывная.
7. Область значений Е(у) = (-∞; +∞).
8. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом Т = п, т. е. у(х + п k ) = у(x ).
9. График функции имеет вертикальные асимптоты х = п k .
Пример 5
Найдем область определения и область значений функции
Очевидно, что область определения функции y (x ) совпадает с областью определения функции z = ctg х, т. е. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х = nk , k ∈ Z .
Функция y (х) сложная. Поэтому запишем ее в виде Координаты вершины параболы y (z ): zB = 1 и y в = 2 - 4 + 5 = 3. Тогда область значений данной функции Е(у) = }
Загрузка...